Question

已知椭圆=1,求以点P(2,1)为中点的弦所在的直线方程.

Answer 1

解法一:设弦MN所在的直线方程为y-1=k(x-2),

代入椭圆的方程并整理,得(9+16k²)x²-32k(2k-1)x+64(k²-k-2)=0.

设M(x₁,y₁)、N(x₂,y₂),

由韦达定理可得x₁+x₂=.                 ①

∵P(2,1)是MN的中点,

∴=2,即x₁+x₂=4.                               ②

由①②可得=4,解得k=-.

故弦MN所在的直线方程是y-1=-(x-2),

即为9x+8y-26=0.

解法二:设弦MN的两端点的坐标为M(x₁,y₁)、N(x₂,y₂),直线MN的斜率为k,则

9x₁²+16y₁²=144,                                      ③

9x₂²+16y₂²=144,                                      ④

③-④,得9(x₁+x₂)(x₁-x₂)+16(y₁+y₂)(y₁-y₂)=0.               ⑤

∵P(2,1)是MN的中点,

∴x₁+x₂=4,y₁+y₂=2,代入⑤得k==-.

故直线MN的方程为y-1=-(x-2),即9x+8y-26=0.