Question

数列{a_n}是等差数列，S_n是其前n项和（n∈N^*），若a4+3a6=13，S6=

27

2

．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=

1

anan+1

，T_n是数列{b_n}的前n项和，求T_n的表达式；
（3）设Cn=32an-1，求C₂+C₄+C₆+…+C_2n+2．

Answer 1

分析：（1）直接把条件a4+3a6=13，S6=

27

2

转化为首项和公差来表示，求出首项和公差，即可求出数列{a_n}的通项公式；
（2）直接把上一问的结果代入，求出数列{b_n}的通项公式；再利用裂项相消法求出T_n的表达式；
（3）先把所求数列{a_n}的通项公式代入求出Cn=32an-1=3ⁿ，进而得到c₂，c₄，c₆…c_2n-2是首项为9，公比为9的等比数列．再代入等比数列的求和公式即可求C₂+C₄+C₆+…+C_2n+2．

解答：解：（1）由已知得：

4a1+18d=13 6a1+ 6×(6-1) 2 d= 27 2

解得：

a1=1 d= 1 2

．
所以a_n=1+（n-1）×

1

2

=

n+1

2

．
（2）∵bn=

1

anan+1

=

4

(n+1)(n+2)

=4（

1

n+1

-

1

n+2

）
∴s_n=4[（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n+1

-

1

n+2

）]
=4（

1

2

-

1

n+2

）=

2n

n+2

．
（3）∵Cn=32an-1=3ⁿ，
∴c₂，c₄，c₆…c_2n-2是首项为9，公比为9的等比数列．
∴C₂+C₄+C₆+…+C_2n+2=3²+3⁴+…+3²ⁿ⁺²=

9(1-9n+1)

1-9

=

9n+2-9

8

．

点评：本题主要考查等差数列和等比数列的综合问题．解决本题的关键在于求出数列{a_n}的通项公式以及裂项相消求和的运用．