题目内容

定义：区间[x₁，x₂]（x₁＜x₂）的长度为x₂-x₁．已知函数y=|log_0.5x|定义域为[a，b]，值域为[0，2]，则区间[a，b]的长度的最大值为________．

$\text{[math]}$
分析：先由函数值域求出函数定义域的取值范围，然后求出区间[a，b]的长度的最大值．
解答：函数y=|log_0.5x|的值域为[0，2]，那么0≤log_0.5x≤2 或-2≤log_0.5x＜0，
即：log_0.51＜≤log_0.5x≤log_0.5（0.5）²或log_0.5（0.5）^-2≤log_0.5x＜log_0.51，
由于函数log_0.5x是减函数，那么 $\text{[math]}$ 或1＜x≤4．
这样就求出函数y=|log_0.5x|的定义域为[ $\text{[math]}$ ，4]，所以函数定义域区间的长度为 $\text{[math]}$
故答案为： $\text{[math]}$
点评：本题考查对数函数的定义域和值域，考查学生发现问题解决问题的能力，是中档题．

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量

=（x₁，f（x₁）），

=(x2， f(x2))，

=（x，y），当实数λ满足x=λ x₁+（1-λ） x₂时，记向量

．定义“函数y=f（x）在区间[x₁，x₂]上可在标准k下线性近似”是指“|

|≤k恒成立”，其中k是一个确定的正数．
（1）设函数 f（x）=x²在区间[0，1]上可在标准k下线性近似，求k的取值范围；
（2）求证：函数g（x）=lnx在区间[e^m，e^m+1]（m∈R）上可在标准k=

下线性近似．
（参考数据：e=2.718，ln（e-1）=0.541）

定义：区间[x₁，x₂]（x₁＜x₂）的长度为x₂-x₁，已知函数y=|log_0.5（x+2）|定义域为[a，b]，值域为[0，3]，则区间[a，b]的长度的最大值为

设定义在区间[x₁，x₂]上的函数y=f（x）的图象为C，点A、B的坐标分别为（x₁，f（x₁）），（x₂f（x₂））且M（x，f（x））为图象C上的任意一点，O为坐标原点，当实数λ满足x=λx₁+（1-λ）x₂时，记向量

|≤k恒成立，则称函数y=f（x）在区间[x₁，x₂]上可在标准k下线性近似，其中k是一个确定的正数．
（Ⅰ）求证：A、B、N三点共线
（Ⅱ）设函数f（x）=x²在区间[0，1]上可的标准k下线性近似，求k的取值范围；
（Ⅲ）求证：函数g（x）=lnx在区间（e^m，e^m+1）（m∈R）上可在标准k=

下线性近似．
（参考数据：e=2.718，ln（e-1）=0.541）

定义：区间[x₁，x₂](x₁＜x₂)的长度为x₂－x₁.已知函数y＝2^|x|的定义域为[a，b]，值域为[1,2]，则区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为________．

设定义在区间[x₁， x₂]上的函数y=f(x)的图象为C，M是C上的任意一点，O为坐标原点，设向

量=，，=(x，y)，当实数λ满足x=λ x₁+(1－λ) x₂时，记向

量=λ+(1－λ)．定义“函数y=f(x)在区间[x₁，x₂]上可在标准k下线性近似”是指

“k恒成立”，其中k是一个确定的正数．

（1）设函数 f(x)=x²在区间[0，1]上可在标准k下线性近似，求k的取值范围；

（2）求证：函数在区间上可在标准k=下线性近似．

（参考数据：e=2.718，ln(e－1)=0.541）