题目内容

定义在R上的二次函数y=f（x）在（0，2）上单调递减，其图象关于直线x=2对称，则下列式子可以成立的是

A.
f（ $数学公式$ ）＜f（ $数学公式$ ）＜f（3）
B.
f（3）＜f（ $数学公式$ ）＜f（ $数学公式$ ）
C.
f（3）＜f（ $数学公式$ ）＜f（ $数学公式$ ）
D.
f（ $数学公式$ ）＜f（3）＜f（ $数学公式$ ）

D
分析：由于图象关于直线x=2对称，所以有f（ $\text{[math]}$ ）=f（ $\text{[math]}$ ），f（3）=f（1），又因为0＜ $\text{[math]}$ ＜1＜ $\text{[math]}$ ＜2，且函数在（0，3）内单调递减，从而判断大小．
解答：由于y=f（x）关于直线x=2对称，故f（ $\text{[math]}$ ）=f（ $\text{[math]}$ ），f（3）=f（1），
由于f（x）在（0，2）上单调递减，故f（ $\text{[math]}$ ）＜f（1）＜f（ $\text{[math]}$ ），即 $\text{[math]}$
故选D．
点评：本题主要考查了函数的对称性单调性的综合运用，利用对称性把所要比较的变量转化到同一单调区间，利用函数的单调性比较函数值的大小，是解决此类问题的常用方法．

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已知定义在R上的二次函数f（x）=ax²-2bx+3
（1）如果a是集合{1，2，3，4}中的任一元素，b是集合{0，2，3}中的任一元素，试求函数f（x）在区间[1，+∞）上单调递增的概率，
（2）如果a是从区间[1，4]上任取一个数，b是从区间[0，3]上任取一个数，试求函数f（x）在区间[1，+∞）上单调递增的概率．

（2011•南通模拟）

如图所示：图1是定义在R上的二次函数f（x）的部分图象，图2是函数g（x）=log_a（x+b）的部分图象．
（1）分别求出函数f（x）和g（x）的解析式；
（2）如果函数y=g（f（x））在区间[1，m）上单调递减，求m的取值范围．

已知定义在R上的二次函数R（x）=ax²+bx+c满足2^R（-x）-2^R（x）=0，且R（x）的最小值为0，函数h（x）=lnx，又函数f（x）=h（x）-R（x）．
（I）求f（x）的单调区间；
（II）当a≤

时，若x₀∈[1，3]，求f（x₀）的最小值；
（III）若二次函数R（x）图象过（4，2）点，对于给定的函数f（x）图象上的点A（x₁，y₁），当x1=

时，探求函数f（x）图象上是否存在点B（x₂，y₂）（x₂＞2），使A、B连线平行于x轴，并说明理由．（参考数据：e=2.71828…）

若定义在区间D上的函数y=f（x）对于区间D上任意x₁，x₂都有不等式

[f(x1)+f(x2)]≤f(

)成立，则称函数y=f（x）在区间D上的凸函数．
（I）证明：定义在R上的二次函数f（x）=ax²+bx+c（a＜0）是凸函数；
（II）对（I）的函数y=f（x），若|f（1）|≤1，|f（2）|≤2，|f（3）|≤3，求|f（4）|取得最大值时函数y=f（x）的解析式；
（III）定义在R上的任意凸函数y=f（x），当q，p，m，n∈N^*且p＜m＜n＜q，p+q=m+n，证明：f（p）+f（q）≤f（m）+f（n）．

已知定义在R上的二次函数R（x）=ax²+bx（a＞0）是偶函数，函数f（x）=2lnx-R（x）．
（I）求f（x）的单调区间；
（II）当a≤1时，若x₀∈[1，2]，求f（x₀）的最大值；
（III）若二次函数R（x）图象过（1，1）点，对于给定的函数f（x）图象上的点A（x₁，y₁），当x₁=

时，探求函数f（x）图象上是否存在点B（x₂，y₂）（x₂＞1），使A、B连线平行于x轴，并说明理由．（参考数据：e=2.71828…）