Question

4．已知函数f（x）=mlnx（m∈R）．
（1）若函数y=f（x）+x的最小值为0，求m的值；
（2）设函数g（x）=f（x）+mx²+（m²+2）x，试求g（x）的单调区间；
（3）试给出一个实数m的值，使得函数y=f（x）与h（x）=$\frac{x-1}{2x}$（x＞0）的图象有且只有一条公切线，并说明此时两函数图象有且只有一条公切线的理由．

Answer 1

分析 （1）函数整理为y=mlnx+x，求导，由题意可知，函数的最小值应在极值点处取得，令f′（x）=0，代入求解即可；
（2）函数整理为g（x）=mlnx+mx²+（m²+2）x，求导得g′（x），对参数m进行分类讨论，逐一求出单调区间；
（3）设出A，B的坐标，求出坐标间的关系，得到函数ω（x）=lnx-1+$\frac{1}{x}$，通过讨论函数的单调性判断即可．

解答 解：（1）y=f（x）+x=mlnx+x，（x＞0），
y′=$\frac{m}{x}$+1，
m≥0时，y′＞0，函数在（0，+∞）递增，无最小值，
m＜0时，y′=$\frac{m+x}{x}$，令y′＞0，解得：x＞-m，令y′＜0，解得：0＜x＜-m，
∴函数y=f（x）+x在（0，-m）递减，在（-m，+∞）递增，
故函数在x=-m处取得最小值，
∴mln（-m）-m=0，解得：m=-e；
（2）g（x）=f（x）+mx²+（m²+2）x
=mlnx+mx²+（m²+2）x，
∴g′（x）=$\frac{（mx+1）（2x+m）}{x}$，
当m=0时，g（x）=2x，定义域内递增；
当m≠0时，
令g′（x）=0，∴x=-$\frac{1}{m}$或x=-$\frac{m}{2}$，
当m＞0时，g′（x）＞0，g（x）定义域内递增；
当m＜0时，当m＞-$\sqrt{2}$时，函数的增区间为（0，-$\frac{m}{2}$）u（-$\frac{1}{m}$，+∞），减区间为（-$\frac{m}{2}$，-$\frac{1}{m}$）；
 当m＜-$\sqrt{2}$时，函数的增区间为（0，-$\frac{1}{m}$），（-$\frac{m}{2}$，+∞），减区间为（-$\frac{1}{m}$，-$\frac{m}{2}$）；
当m=-$\sqrt{2}$时，定义域内递增．
（3）m=$\frac{1}{2}$符合题意，理由如下：此时f（x）=$\frac{1}{2}$lnx，
设函数f（x）与h（x）上各有一点A（x₁，$\frac{1}{2}$lnx₁），B（x₂，$\frac{{x}_{2}-1}{{2x}_{2}}$），
则f（x）以点A为切点的切线方程为y=$\frac{1}{{2x}_{1}}$x+$\frac{1}{2}$lnx₁-$\frac{1}{2}$，
h（x）以点B为切点的切线方程为y=$\frac{1}{{{2x}_{2}}^{2}}$x+$\frac{{x}_{2}-2}{{2x}_{2}}$，
由两条切线重合，得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{2x}_{1}}=\frac{1}{{{2x}_{2}}^{2}}}\\{\frac{1}{2}l{nx}_{1}-\frac{1}{2}=\frac{{x}_{2}-2}{{2x}_{2}}}\end{array}\right.$ （*），
消去x₁，整理得lnx₂=1-$\frac{1}{{x}_{2}}$，即lnx₂-1+$\frac{1}{{x}_{2}}$=0，
令ω（x）=lnx-1+$\frac{1}{x}$，得ω′（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
所以函数ω（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，
又ω（1）=0，所以函数ω（x）有唯一零点x=1，
从而方程组（*）有唯一解$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1}\\{{x}_{2}=1}\end{array}\right.$，即此时函数f（x）与h（x）的图象有且只有一条公切线．
故m=$\frac{1}{2}$符合题意．

点评 本题考查了利用导函数求函数的单调性问题，难点是对导函数中参数的讨论问题．