Question

20．已知函数f（x）=ax²+$\frac{1}{x+b}$（a，b∈R）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）当b=0时，f（x）≥$\frac{1}{4}$a+2在（0，$\frac{1}{2}$]上恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的定义，结合a，b的取值即可判断函数f（x）的奇偶性；
（2）求出f（x）的表达式，利用参数分离法进行转化求解即可．

解答 解：（1）若b=0，则f（x）=ax²+$\frac{1}{x}$，此时函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），
若a=0，则f（x）=$\frac{1}{x}$为奇函数，
若a≠0，则f（x）为非奇非偶函数，
若b≠0，则由x+b≠0得x≠-b，则函数的定义域关于原点不对称，函数f（x）为非奇非偶函数，
综上当a=b=0时，函数f（x）为奇函数，其他都为非奇非偶函数．
（2）当b=0时，f（x）≥$\frac{1}{4}$a+2在（0，$\frac{1}{2}$]上恒成立，
则当b=0时，ax²+$\frac{1}{x}$≥$\frac{1}{4}$a+2在（0，$\frac{1}{2}$]上恒成立，
即a（x²-$\frac{1}{4}$）≥2-$\frac{1}{x}$，即a（x-$\frac{1}{2}$）（x+$\frac{1}{2}$）≥$\frac{2（x-\frac{1}{2}）}{x}$，
由x-$\frac{1}{2}$≤0，x+$\frac{1}{2}$$＞\frac{1}{2}$，则不等式等价为a≤$\frac{2}{x（x+\frac{1}{2}）}$在（0，$\frac{1}{2}$]上恒成立，
当x∈（0，$\frac{1}{2}$]时，x（x+$\frac{1}{2}$）≤$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{2}{x（x+\frac{1}{2}）}$≥4，
即a≤4．

点评 本题主要考查函数奇偶性的判断，以及不等式恒成立问题，利用参数分离法是解决本题的关键．