Question

【题目】已知函数，.

（1）若函数有唯一的极小值点，求实数的取值范围；

（2）求证：.

Answer 1

【答案】（1）且.（2）证明见解析

【解析】

（1）对函数进行求导，分类讨论根据函数有唯一极小值点，最后求出实数的取值范围；

（2）对所要证明的式子进行变形，构造函数：，求导，最后利用函数的单调性证明出结论.

解：，

，

，，

设，

当时，，在时，，即，所以单调递减，

在时，，，所以单调递增，所以函数有唯一的极小值

点成立；

当时，令，得，，

在时，，即，所以单调递减，

在时，，，所以单调递增，

所以函数有唯一的极小值点成立；

当时，令，得，，当时不合题意，

则，且，即且，

设，，

在时，，即，所以单调递减，

在时，，，所以单调递增，

在时，，即，所以单调递减，

所以函数有唯一的极小值点成立；

综上所述，的取值范围为且.

（2）令，，

则，

令，易知在上单增，且，

所以当时，，从而，当时，，从而，

在单减，在单增，则的最小值为，所以当时，

，即，

即，所以，

所以.