Question

19．已知：f（x）是定义的R上的不恒为零的函数，且对任意a、b∈R，满足：f（a•b）=af（b）+bf（a），且f（2）=2，a_n=$\frac{{f（{2^{-n}}）}}{n}，则f（\frac{1}{2}）$=-$\frac{1}{2}$；数列{a_n}的通项公式a_n=-$\frac{1}{{2}^{n}}$．

Answer 1

分析 令a=b=1，求得f（1）=0，再令a=2，b=$\frac{1}{2}$，求得f（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{2}$；令a=2^-n，b=2，得f（2^-n+1）=2^-nf（2）+2f（2^-n），设A_n=f（2^-n），可得A_n-1=2^-n-1+2A_n，从而可知数列{ $\frac{{A}_{n}}{{2}^{-n}}$}是以-1为，-1为首项的等差数列，故可求数列{A_n}的通项公式，从而得出数列{a_n}的通项公式．

解答 解：令a=1，b=1，
得f（1）=f（1）+f（1），∴f（1）=0，
令a=2，b=$\frac{1}{2}$，得f（1）=2f（$\frac{1}{2}$）+$\frac{1}{2}$f（2），且f（2）=2，
∴f（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{2}$，
令a=2^-n，b=2，得f（2^-n+1）=2^-nf（2）+2f（2^-n）
设A_n=f（2^-n）
∴A_n-1=2^-（n-1）+2A_n，
∴$\frac{{A}_{n-1}}{{2}^{-（n-1）}}$=1+$\frac{{A}_{n}}{{2}^{-n}}$，
即$\frac{{A}_{n}}{{2}^{-n}}$-$\frac{{A}_{n-1}}{{2}^{-（n-1）}}$=-1，且$\frac{{A}_{1}}{{2}^{-1}}$=$\frac{f（\frac{1}{2}）}{\frac{1}{2}}$=-1，
即数列{$\frac{{A}_{n}}{{2}^{-n}}$}是以-1为，-1为首项的等差数列，
∴$\frac{{A}_{n}}{{2}^{-n}}$=-n，
∴A_n=-n•2^-n
∴a_n=-$\frac{1}{{2}^{n}}$．
故答案为：-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查数列的函数特性、等差数列的定义，涉及抽象函数的应用，属中档题．