Question

（2010•安徽模拟）已知向量

a

=(4cosx，-1)，

b

=(sin(x+

π

3

)，

3

)，且f(x)=

1

2

a

•

b

．
（1）求函数y=f（x）的解析式，并指出其单调递增区间；
（2）画出函数y=f（x）在区间[0，π]上的图象．

Answer 1

分析：（1）应用向量的数量积公式计算

a

•

b

，代入f(x)=

1

2

a

•

b

，再利用两角和的正弦公式，二倍角公式，辅助角公式进行化简，最后化为y=Asin（ωx+φ）的形式，在借助正弦函数的单调性求函数f（x）的单调增区间即可．
（2）利用描点法画出函数图象，当x取[0，π]上的值时，求出对应的2x+

π

3

的值以及相应的y值，就可得到函数f（x）在区间[0，π]上的对应点，进而得到函数图象．

解答：解：（1）∵向量

a

=(4cosx，-1)，

b

=(sin(x+

π

3

)，

3

)，且f(x)=

1

2

a

•

b

∴f(x)=

1

2

(4cosx，-1)•(sin(x+

π

3

)，

3

)
=

1

2

[4cosx•sin(x+

π

3

)-

3

]
=

1

2

[4cosx(

1

2

sinx+

3

2

cosx)-

3

]
=sinxcosx+

3

cos2x-

3

2

=

1

2

sin2x+

3

2

cos2x
=sin2xcos

π

3

+ cos2xsin

π

3

=sin(2x+

π

3

)
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，得kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，k∈Z
∴单调增区间为[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

](k∈z)
（2）y=sin(2x+

π

3

)列表如下：

x	0	π 12	π 3	7π 12	5π 6	π
2x+ π 3	π 3	π 2	π	3π 2	2π	7π 3
y	3 2	1	0	-1	0	3 2

y=sin(2x+

π

3

)图象如下：

点评：本题主要考查三角函数公式与函数y═Asin（ωx+φ）的图象与性质的综合，先用三角公式把已知函数化为y═Asin（ωx+φ）的形式，再求图象与性质．