Question

证明函数y=

2-x

x-1

在区间[2，6]上是减函数，并求该函数在区间[2，6]上的值域．

Answer 1

分析：用定义证明函数的单调性，再应用单调性求出函数的最值，从而得出值域．

解答：解：∵函数y=

2-x

x-1

=

1

x-1

-1，
∴任取x₁，x₂∈[2，6]，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=（

1

x1-1

-1）-（

1

x2-1

-1）=

x2-x1

(x1-1)(x2-1)

，
∵2＜x₁＜x₂＜6，
∴x₂-x₁＞0，（x₁-1）（x₂-1）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在区间[2，6]上是减函数，
∴f（x）的最大值是f（x）_max=f（2）=0，最小值是f（x）_min=f（6）=-

4

5

；
∴f（x）在区间[2，6]上的值域是[-

4

5

，0]．

点评：本题是必修一教材上的例题，考查了用定义判定函数的单调性以及应用单调性求函数的最值问题，是基础题．