题目内容

函数f（n）=数学公式（n∈N*）为增函数，则a的范围为________．

（-∞，2）
分析：考虑到函数的定义域为正整数，所以函数为增函数即f（n+1）-f（n）＞0，在正整数范围内总能成立，由此将这个差变形得到a＜n（n+1）对任意的n∈N*成立，从而得出实数a的范围．
解答：函数f（n）=的定义域为N*，说明对任意的n∈N*
f（n+1）-f（n）＞0，总能成立，
所以＞0对任意的n∈N*成立
得到：
∵
∴a＜n（n+1）对任意的n∈N*成立
而n（n+1）的最小值是2
故a的范围为a＜2
故答案为：（-∞，2）
点评：本题考查了定义在正整数上的函数单调增的知识点，属于中档题．抓住函数的定义域为正整数，利用作差解决是本题的关键所在．
练习册系列答案
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已知二次函数f（x）=x2-ax+2a-4不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素，设数列{an}的前n项和Sn=f（n），n∈N*
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=
an
2n
求{bn}的前n次和Tn．
（3）在各项不为零的数列{cn}中，所有满足Cm Cm+1＜0的正整数m的个数称为这个数列{Cn}的变号数，若Cn=
1
a
-
1
an
（n∈N*），求数列{Cn}的变号数．
已知函数f（x）=1+ln
x
2-x
（0＜x＜2）．
（1）试问f（x）+f（2-x）的值是否为定值？若是，求出该定值；若不是请，说明理由；
（2）定义Sn=
2n-1
i=1
f(
i
n
)=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
2n-1
n
)，其中n∈N*，求S2013；
（3）在（2）的条件下，令Sn+1=2an，若不等式2an•(an)m＞1对?n∈N*且n≥2恒成立，求实数m的取值范围．
设函数f（x）的定义域为R，当x＜0时f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）．数列{an}满足f（an+1）=
1f(-2-an)
（n∈N*）
（Ⅰ）求f（0）的值，判断并证明函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）如果存在t、s∈N*，s≠t，使得点（t，as）、（s，at）都在直线y=kx-1上，试判断是否存在自然数M，当n＞M时，a n＞f（0）恒成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，请说明理由．
已知函数f（x）=ax4+bx3+cx2+dx+e（a，b，c，d，∈R）是定义在R上的奇函数，且f（x）在x=
2
处取得极小值-
4
2
3
．设f′（x）表示f（x）的导函数，定义数列{an}满足：an=f′（
n
）+2（n∈N*））．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；
（Ⅱ）对任意m，n∈N*，若m≤n，证明：1+
m
an
≤（1+
1
an
）m＜3；
（Ⅲ）（理科）试比较（1+
1
an
）m+1与（1+
1
an+1
）m+2的大小．
（2012•卢湾区一模）已知函数f（x）=
x+1-tt-x
（t为常数）．
（1）当t=1时，在图中的直角坐标系内作出函数y=f（x）的大致图象，并指出该函数所具备的基本性质中的两个（只需写两个）．
（2）设an=f（n）（n∈N*），当t＞10，且t∉N*时，试判断数列{an}的单调性并由此写出该数列中最大项和最小项（可用[t]来表示不超过t的最大整数）．
（3）利用函数y=f（x）构造一个数列{xn}，方法如下：对于给定的定义域中的x1，令x2=f（x1），x3=f（x2），…，xn=f（xn-1）（n≥2，n∈N*），…在上述构造过程中，若xi（i∈N*）在定义域中，则构造数列的过程继续下去；若xi不在定义域中，则构造数列的过程停止．若取定义域中的任一值作为x1，都可以用上述方法构造出一个无穷数列{xn}，求实数t的值．

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