Question

已知点F是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦点，过原点的直线交椭圆于点A、P，PF垂直于x轴，直线AF交椭圆于点B，PB⊥PA，则该椭圆的离心率e=

2

2

．

Answer 1

分析：由题意得该椭圆的形状确定，与大小无关．因此设a=1，得P（c，b²），从而A（-c，-b²），可得到直线AF的方程为：y=

b2

2c

（x-c），与椭圆方程联解得出点B（

4c-b2c

4c2+b2

，

(1-c2)2

1+3c 2

），由此得出PB的斜率k₁，并化简得k₁=-2c，结合PA的斜率k₂=

b2

c

且PB⊥PA，由k₁k₂=-1列式并解之，可得b=c=

2

2

，最终得出该椭圆的离心率e．

解答：解：根据题意椭圆的离心率为定值，故椭圆的形状确定，与大小无关
因此设a=1，得椭圆的方程为x2+

y2

b2

=1，
求出椭圆的半焦距c，即得椭圆的离心率．
由F（c，0）及PF⊥x轴，得P（c，b²）
∵PA的中点为坐标原点O
∴A的坐标为（-c，-b²），得直线AF的斜率k=

-b2-0

-c-c

=

b2

2c

∴直线AF的方程为：y=

b2

2c

（x-c）
由

x2+ y2 b2 =1 y= b2 2c (x-c)

联解，得B的横坐标x_B=

4c-b2c

4c2+b2

，
将b²=1-c²代入，化简得x_B=

3c+c3

1+3c2

，代入直线AF方程，得B的纵坐标y_B=

(1-c2)2

1+3c 2

∴直线PB的斜率k₁=

(1-c2)2 1+3c 2 -b2

3c+c3 1+3c2 -c

=-2c
∵PA的斜率k₂=

b2

c

，且PB⊥PA，
∴k₁k₂=-1，得-2c•

b2

c

=-1，解之得b=c=

2

2

因此，该椭圆的离心率e=

c

a

=

2

2

故答案为：

2

2

点评：本题给出满足特殊条件的椭圆，求该椭圆的离心率，着重考查了椭圆的标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．