Question

（本小题满分13分）如图，在正方体的上底面上叠放三棱柱
，该几何体的正视图与左视图如右图所示.
（Ⅰ）若，求实数的值；
（Ⅱ）在（I）的条件下：
① 证明平面；
②求直线与平面所成角的正弦值

Answer 1

（Ⅰ）=1
（Ⅱ）①见解析
②.

本题主要考查三视图，直线与直线、直线与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，推理论证能力，以及运算求解能力，考查化归与转化思想，数形结合思想
解：（Ⅰ）分别以DA、DC、DM为、y、z轴，建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），B₁
（1，1，1），A₁（1，0，1），C（0，1，0），D₁（0，0，1），M（0，0，1+），
N（0，1，1+）.
=（1，1，1），=（－1，0，）.
∵⊥，
∴·="0 "   －1+a="0 "   ="1." ---------------------4分
（Ⅱ）①=（－1，1，－1），=（0，1，1），=（1，0，1）.
∵·=0， ·=0，
∴⊥， ⊥，又ND₁NB₁=N.
∴A₁C⊥平面NB₁D₁.                ----------------------------8分
②设平面A₁B₁NM的法向量为=（x、y、z），
   ·="0"             y=0
·="0        " x－z="0" .
取=（1，0，1），又=（1，1，1），
cos<·>=.
设直线DB₁与平面A₁B₁NM所成角为θ，
则sinθ=sin（－<·>）
=cos<·>=.----------------------------13分