题目内容

若∠B=60°，O为△ABC的外心，点P在△ABC所在的平面上， $数学公式$ = $数学公式$ + $数学公式$ + $数学公式$ ，且 $数学公式$ • $数学公式$ =8，则边AC上的高h的最大值为________．

$\text{[math]}$
分析：根据题意，得点P是△ABC的垂心，从而 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0，将 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ 化简为 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =8，结合∠B=60°算出 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ 和三角形ABC的面积．利用余弦定理，算出当且仅当 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =4时， $\text{[math]}$ 有最小值为4，结合三角形面积为4 $\text{[math]}$ ，可得AC上的高h的最大值为2 $\text{[math]}$ ．
解答：

解：∵O为△ABC的外心， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，
∴点P是△ABC的垂心，即P是三条高线的交点
∴ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ =8
∵ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0，∴ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =8
∵∠B=60°，∴ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ cos60°=8，得 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =16
根据正弦定理的面积公式，得S_△ABC= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ sin60°=4 $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ -2 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ cos60°= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ -16
$\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ≥2 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =32
∴ $\text{[math]}$ ≥16，得当且仅当 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =4时， $\text{[math]}$ 有最小值为4
∵S_△ABC= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ •h=4 $\text{[math]}$ ，h是边AC上的高
∴h≤ $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，当且仅当 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =4时，边AC上的高h的最大值为2 $\text{[math]}$
故答案为：2 $\text{[math]}$
点评：本题在△ABC中，已知一个角和两边长度之积，求另一边上高的最大值，着重考查了三角形外心与垂直的联系、平面向量数量积的运算性质和正余弦定理等知识，属于中档题．