Question

已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切，分别是椭圆的左右两个顶点， 为椭圆上的动点．

       （Ⅰ）求椭圆的标准方程；

       （Ⅱ）若与均不重合，设直线与的斜率分别为，证明：为定值；

       （Ⅲ）为过且垂直于轴的直线上的点，若，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

Answer 1

解析：（Ⅰ）由题意可得圆的方程为，

       ∵直线与圆相切，∴，即，----------------1分

又，即，，解得，，

所以椭圆方程为．---------------------------------------3分

（Ⅱ）设， ，，则，即，

则，， --------------------------------------4分

即，                 

∴为定值．-------------------------------6分

（Ⅲ）设，其中．

由已知及点在椭圆上可得，

整理得，其中．-------------------------7分

①当时，化简得，

所以点的轨迹方程为，轨迹是两条平行于轴的线段；

------------------8分

②当时，方程变形为，其中，

------------------------------------10分

       当时，点的轨迹为中心在原点、实轴在轴上的双曲线满足的部分；

       当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆满足的部分；

       当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆．    ---------------------------------------12分