Question

设双曲线-y²=1的右焦点为F，点P₁、P₂、…、P_n是其右上方一段（2≤x≤2，y≥0）上的点，线段|P_kF|的长度为a_k，（k=1，2，3，…，n）．若数列{a_n}成等差数列且公差d∈（，），则n最大取值为    ．

Answer 1

【答案】分析：根据双曲线的第二定义，可得|P_kF|的长度a_k=x_k-2，结合题意2≤x_k≤2得n取最大值时d=，再解不等式＜＜，找出它的最大整数解，即得n的最大值．
解答：解：由题意，得a²=4，b²=1，c==，可得 双曲线 的右准线为：x=，即x=
设P_k坐标为（x_k，y_k），P_k到右准线的距离为d_k（k=1，2，3，…，n），
根据双曲线的第二定义，得=e=，
∴|P_kF|=d_k=（x_k-）=x_k-2
∵|P_kF|的长度为a_k，∴a_k=x_k-2
∵数列{a_n}成等差数列，且公差d∈（，），
∴=∈（，），
∵2≤x_k≤2，（k=1，2，3，…，n），公差d是正数
∴0＜x_n-x₁≤2-2，得n取最大值时d==
∴＜＜，解之得5-4＜n＜26-5
因为26-5≈14.82，所以满足条件的最大整数n=14
故答案为：14
点评：本题以双曲线为载体，在它的n条焦半径成等差数列并知道公差范围的情况下，求项数n的最大值，着重考查了双曲线的简单几何性质和等差数列的通项公式等知识，属于中档题．