Question

设双曲线-y²=1的右顶点为A，P是双曲线上异于顶点的一个动点，从A引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP （O为坐标原点）分别交于Q和R两点．
（1）证明：无论P点在什么位置，总有||²=|•|；
（2）设动点C满足条件：=（+），求点C的轨迹方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）设OP：y=kx与AR：y=联立，解得=，同理可得 ，所以||=，由此知||²==|•|．
（2）由=（+），知点C为QR的中点，设C（x，y），有，消去k，可得所求轨迹方程．
解答：解：（1）设OP：y=kx与AR：y=联立，解得=，（2分）
同理可得 ，所以||=，（2分）
设=（m，n），则由双曲线方程与OP方程联立解得，（2分）
所以||²==|•|（点在双曲线上，1-4k²＞0）；（2分）
（2）∵=（+），
∴点C为QR的中点，设C（x，y），
则有，消去k，可得所求轨迹方程为x²-2x-4y²=0（x≠0）．（6分）
点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．