Question

如图，D是△ABC所在平面外一点，DC⊥AB，E、F分别是CD、BD的中点，且AD=10，CD=BC=6，AB=2

10

．
（1）求证：EF∥平面ABC；
（2）求异面直线AD与BC所成的角．

Answer 1

分析：（1）要证明EF∥平面ABC；只要证明EF与平面ABC内的一条直线平行即可，易证EF∥BC，所以EF∥平面ABC；
 （2）取AC、BC的中点M、N，连接EM、MN、NF、MF，∠MEF（或其补角）就是异面直线AD、BC成的角，在四边形EMNF中求解即可．

解答：解：（1）证明：∵E、F分别是CD、BD的中点
∴EF∥CB
又 CB?平面ABC，EF?平面ABC
∴EF∥平面ABC
（2）取AC、BC的中点M、N，连接EM、MN、NF、MF
∵EM∥AD      EF∥BC
∴∠MEF（或其补角）就是异面直线AD、BC成的角
在△MNF中，MN=

AB

2

=

10

，NF=

1

2

DC=3
DC∥FN，MN∥AB，DC⊥AB，∴∠MNF=90°
∴MF=

19

在△EMF中，cosMEF=

52+32-19

2×5×3

=

1

2

∴∠MEF=

π

3

，即AD、BC成的角为

π

3

点评：本题考查直线与平面的位置关系、异面直线夹角．考查转化（本题空间角转化为平面角，线面平行转化为线线平行）、空间想像、计算的能力．