题目内容
已知向量
，
满足|
|=|
|=1，且|
-k
|=
|k
+
|，其中k＞0，
（1）试用k表示
•
，并求出
•
的最大值及此时
与
的夹角为θ的值；
（2）当
•
取得最大值时，求实数λ，使|
+λ
|的值最小，并对这一结果作出几何解释．
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| 3 |
| a |
| b |
（1）试用k表示
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
（2）当
| a |
| b |
| a |
| b |
分析：（1）由已知可得
•
=-（
+
），利用基本不等式可得
+
≥2×
=
，故
•
≤-
，此时，
•
=-
=1×1cosθ，θ=120°．
（2）当
•
取得最大值时，
•
=-
=
，故当λ=
时，|
+λ
|的最小值等于
，
这一结果的几何解释：平行四边形OABC中，OA=1，∠AOC=120°，当且仅当OC=
时，对角线OB最短为
．
| a |
| b |
| k |
| 4 |
| 1 |
| 4k |
| k |
| 4 |
| 1 |
| 4k |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| a |
| b |
| 1 |
| 2 |
| a |
| b |
| 1 |
| 2 |
（2）当
| a |
| b |
| a |
| b |
| 1 |
| 2 |
| 1 -λ+λ2 |
| 1 |
| 2 |
| a |
| b |
| ||
| 2 |
这一结果的几何解释：平行四边形OABC中，OA=1，∠AOC=120°，当且仅当OC=
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
解答：解：（1）∵|
|=|
|=1，|
-k
|=
|k
+
|，
∴
2-2k
•
+k2
2=3k2
2+6k
•
+3
2，∴1-2k
•
+k2=3k2+6k
•
+3，
∴
•
=-（
+
）．∵
+
≥2×
=
，
∴
•
≤-
，当且仅当
=
，即k=1时，取等号．
此时，
•
=-
=1×1cosθ，∴θ=120°．
（2）当
•
取得最大值时，
•
=-
，|
+λ
|=
=
=
，
故当λ=
时，|
+λ
|的最小值等于
=
，
这一结果的几何解释：平行四边形OABC中，OA=1，∠AOC=120°，当且仅当OC=
时，对角线OB最短为
．
| a |
| b |
| a |
| b |
| 3 |
| a |
| b |
∴
| a |
| a |
| b |
| b |
| a |
| a |
| b |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
∴
| a |
| b |
| k |
| 4 |
| 1 |
| 4k |
| k |
| 4 |
| 1 |
| 4k |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
∴
| a |
| b |
| 1 |
| 2 |
| k |
| 4 |
| 1 |
| 4k |
此时，
| a |
| b |
| 1 |
| 2 |
（2）当
| a |
| b |
| a |
| b |
| 1 |
| 2 |
| a |
| b |
|
|
1+2λ•
|
| 1 -λ+λ2 |
故当λ=
| 1 |
| 2 |
| a |
| b |
1-
|
| ||
| 2 |
这一结果的几何解释：平行四边形OABC中，OA=1，∠AOC=120°，当且仅当OC=
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
点评：本题考查两个向量的数量积公式，两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，基本不等式的应用，是一道中档题．
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已知向量a，b满足|a|=2，|b|=3，|2a+b|=
，则a与b的夹角为（ ）
| 37 |
| A、30° | B、45° |
| C、60° | D、90° |