Question

双曲线C的中心在原点，右焦点为，渐近线方程为．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx+1与双曲线C交于A、B两点，问：当k为何值时，以AB为直径的圆过原点．

Answer 1

解：（Ⅰ）设双曲线的方程是，则，．
又∵c²=a²+b²，∴b²=1，．
所以双曲线的方程是3x²-y²=1．
（Ⅱ）①由
得（3-k²）x²-2kx-2=0，
由△＞0，且3-k²≠0，得，且 ．
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），因为以AB为直径的圆过原点，所以OA⊥OB，
所以 x₁x₂+y₁y₂=0．
又，，
所以 y₁y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=1，
所以 ，解得k=±1．
分析：（Ⅰ）设双曲线的方程是，则，．由此能求出双曲线的方程．
（Ⅱ）由，得（3-k²）x²-2kx-2=0，由△＞0，且3-k²≠0，得，且 ．设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由以AB为直径的圆过原点，知 x₁x₂+y₁y₂=0．由此能够求出k=±1．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要认真审题，注意双曲线性质的灵活运用，合理地进行等价转化．