Question

求函数f（x）=x²-4x+（2-a）lnx（a∈R）在区间[e，e²]上的最小值．

Answer 1

解：当x∈[e，e²]时，f（x）=x²-4x+（2-a）lnx，
所以 ，
设g（x）=2x²-4x+2-a．
①当a≤0时，有△=16-4×2（2-a）=8a≤0
所以f'（x）≥0，f（x）在[e，e²]上单调递增．
所以f（x）_min=f（e）=e²-4e+2-a
②当a＞0时，△=16-4×2（2-a）=8a＞0，
令f'（x）＞0，即2x²-4x+2-a＞0，解得 或 （舍）；
令f'（x）＜0，即2x²-4x+2-a＜0，解得 ．
1⁰若 ，即a≥2（e²-1）²时，f（x）在区间[e，e²]单调递减，
所以f（x）_min=f（e²）=e⁴-4e²+4-2a．
2⁰若 ，即2（e-1）²＜a＜2（e²-1）²时，f（x）在区间 上单调递减，
在区间 上单调递增，所以 ．
3⁰若 ，即0＜a≤2（e-1）²时，f（x）在区间[e，e²]单调递增，
所以f（x）_min=f（e）=e²-4e+2-a．
综上所述，
当a≥2（e²-1）²时，f（x）_min=e⁴-4e²+4-2a；
当2（e-1）²＜a＜2（e²-1）²时，；
当a≤2（e-1）²时，f（x）_min=e²-4e+2-a．
分析：先求函数的导数，即，再令g（x）=2x²-4x+2-a，对a进行讨论，从而得到
f′（x）的符号，进而得到f（x）的单调性，从而得到函数的极值点、端点的函数值，比较极小值与端点函数值的大小，近而求出最小值．
点评：本题考查了复合函数的在闭区间上的最值问题，还有分类讨论的思想，属于中档题．