Question

13．已知二次函数f（x）=x²+bx+c（其中b，c为实常数）．
（Ⅰ）若b＞2，且y=f（sinx）（x∈R）的最大值为5，最小值为-1，求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）是否存在这样的函数y=f（x），使得{y|y=x²+bx+c，-1≤x≤0}=[-1，0]，若存在，求出函数y=f（x）的解析式；若不存在，请说明理由．
（Ⅲ）记集合A={x|f（x）=x，x∈R}，B={x|f（f（x））=x，x∈R}．
①若A≠∅，求证：B≠∅；
②若A=∅，判断B是否也为空集．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的对称轴小于-1，得到关于b，c的方程组，解出即可；
（Ⅱ）求出f（x）的对称轴，通过讨论对称轴的位置，结合函数的值域求出b，c的值，从而求出f（x）的表达式即可；
（Ⅲ）通过整理方程得到x²+（b-1）x+c=0或x²+（b+1）x+b+c+1=0，结合二次函数的性质进行证明即可．

解答 解：（Ⅰ）由条件知f（x）=x²+bx+c的最大值为5，最小值为-1
而b＞2，则对称轴$x=-\frac{b}{2}＜-1$，
则$\left\{\begin{array}{l}f（{-1}）=-1\\ f（1）=5\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}c-b+1=-1\\ b+c+1=5\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}c=1\\ b=3\end{array}\right.$
则f（x）=x²+3x+1．--------------------------------------------（3分）
（Ⅱ）f（x）=x²+bx+c，-1≤x≤0，对称轴x=-$\frac{b}{2}$，
若b≥2，则$x=-\frac{b}{2}≤-1$，则$\left\{\begin{array}{l}c-b+1=-1\\ c=0\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}c=0\\ b=2\end{array}\right.$，此时f（x）=x²+2x，
若b≤0，则$x=-\frac{b}{2}≥0$，则$\left\{\begin{array}{l}c-b+1=0\\ c=-1\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}c=-1\\ b=0\end{array}\right.$，此时f（x）=x²-1，
若0＜b≤1，则$x=-\frac{b}{2}∈[{-\frac{1}{2}，0}）$，则$\left\{\begin{array}{l}c-b+1=0\\ c-\frac{b^2}{4}=-1\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}c=-1\\ b=0\end{array}\right.$（舍）或$\left\{\begin{array}{l}c=3\\ b=4\end{array}\right.$（舍），
此时不存在函数f（x），若1＜b＜2，则$x=-\frac{b}{2}∈（{-1，-\frac{1}{2}}）$，
则$\left\{\begin{array}{l}c=0\\ c-\frac{b^2}{4}=-1\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}c=0\\ b=2\end{array}\right.$（舍）或$\left\{\begin{array}{l}c=0\\ b=-2\end{array}\right.$（舍），此时不存在函数f（x），
综上所述存在函数f（x）=x²-1和f（x）=x²+2x满足条件-----------------------------（8分）
（Ⅲ）由f（x）=x²+bx+c得f（f（x））=f²（x）+bf（x）+c及c=f（x）-x²-bx，
由f（f（x））=x得到f²（x）+bf（x）+c=x，即f²（x）+bf（x）+f（x）-x²-bx=x，
整理得到f²（x）-x²+b（f（x）-x）+（f（x）-x）=0，
即（f（x）-x）（f（x）+x+b+1）=0①
即f（x）-x=0或f（x）+x+b+1=0，
即x²+（b-1）x+c=0②或x²+（b+1）x+b+c+1=0③
方程②的判别式△=（b-1）²-4c
方程③的判别式${△_1}={（{b+1}）^2}-4b-4c-4={（{b-1}）^2}-4c-4=△-4$，
①若A≠ϕ，即f（x）-x=0有解，即x²+（b-1）x+c=0有解，即△≥0，则①有解，
即B≠ϕ，
②若A=ϕ，即△＜0，则△₁＜0，②和③均无解，则①无解，即B=ϕ．----------------（12分）

点评 本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性、值域问题，考查求函数的解析式，以及集合问题，是一道综合题．