Question

9．已知函数$f（x）=Asin（ωx+\frac{π}{6}）（A＞0，ω＞0）$的图象与x轴的两个相邻交点的距离为$\frac{π}{2}$，且函数图象过点$（\frac{2π}{3}，-2）$．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$时，求函数f（x）的值域；
（3）将函数y=f（x）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位后得函数y=g（x）的图象，若g（x）为偶函数，求φ的最小值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得周期T，由周期公式可得ω，由函数图象过点$（\frac{2π}{3}，-2）$，可得-2=Asin（2×$\frac{2π}{3}$+$\frac{π}{6}$），解得A，即可得解；
（2）由$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，求得2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，从而可求sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，即可求得函数f（x）的值域；
（3）先求g（x）=2sin（2x+2φ+$\frac{π}{6}$），g（x）为偶函数，则有：2φ+$\frac{π}{6}$=k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z，结合范围φ＞0即可解得φ的最小值．

解答 解：（1）由题意可得：周期T=2×$\frac{π}{2}=π$，由周期公式可得：$ω=\frac{2π}{T}=\frac{2π}{π}=2$，
∵函数图象过点$（\frac{2π}{3}，-2）$．
∴可得：-2=Asin（2×$\frac{2π}{3}$+$\frac{π}{6}$），解得：A=2．
故函数f（x）的解析式为：$f（x）=2sin（{2x+\frac{π}{6}}）$．
（2）∵$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，
∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，2]，
故函数f（x）的值域为：[-1，2]
（3）将函数y=f（x）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位后得函数y=g（x）=2sin[2（x+φ）+$\frac{π}{6}$]=2sin（2x+2φ+$\frac{π}{6}$）为偶函数，
则有：2φ+$\frac{π}{6}$=k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：φ=$\frac{kπ}{2}-\frac{π}{6}$，k∈Z．
又：φ＞0，
可得：${φ_{min}}=\frac{π}{6}$．

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．