Question

已知函数f(x)=x+

m

x

，且此函数图象过点（1，5）
（1）求实数m的值并判断f（x）的奇偶性；
（2）若函数f（x）在（0，2）上单调递减，解关于实数x的不等式f(

2-2x

)＜5．

Answer 1

分析：（1）函数f(x)=x+

m

x

，且此函数图象过点（1，5），代入求得m的值，根据函数的奇偶性，验证f（-x）与f（x）的关系从而进行判断；
（2）根据函数的奇偶性可得f（1）=5，函数f（x）在（0，2）上单调递减，实数x的不等式f(

2-2x

)＜5=f（1），根据函数的单调性，列出不等式，从而进行求解；

解答：解：（1）由题知分母不为0，
∵函数f(x)=x+

m

x

，且此函数图象过点（1，5）
∴1+m=5，解得m=4，
∴f（x）的定义域为{x|x≠0}，
f(-x)=-x+

4

-x

=-(x+

4

x

)=-f(x)，
∴f（x）为奇函数--------（5分）
（2）∵f（x）在（0，2）上单调递减，且f（1）=5，
∴f(

2-2x

)＜5=f(1)，
∴

2-2x ＞1 0＜ 2-2x ＜2

，
∴

2-2x＞1 0＜2-2x＜4

即

x＜0 x＜1

∴x＜0，
不等式的解集为：{x|x＜0}；

点评：此题主要考查函数的奇偶性的性质及其应用，以及不等式的解法，解题的过程中用到了函数的单调性，是一道基础题；