Question

已知随机变量η只取a，1这两个值，且P（η=a）=a，则当E（η）取最小值时D（η）等于

1

16

．

Answer 1

分析：首先分析题目已变量ξ的分布列，可以表示出出期望，得到关于字母a的二次函数，根据二次函数求出期望的最小值和对应的a的值，再根据方差公式直接求得方差．

解答：解：∵随机变量η只取a，1这两个值，且P（η=a）=a，0＜a＜1
∴P（η=1）=1-a，
∴E（η）=a²+1-a=(a-

1

2

)2+

3

4

∴当a=

1

2

时，E（η）取最小值

3

4

∴D（η）=

1

2

(1-

3

4

)2+

1

2

(

1

2

-

3

4

)2=

1

16

故答案为：

1

16

点评：本题主要考查离散型随机变量的分布列与期望和方差的求法，本题解题的关键是根据所给的期望取得最小值点的条件，求出要用的a的值，注意a是分布列中的概率的值，它的取值在（0，1）上，本题是一个中档题目．