Question

（2011•上海模拟）设不等式x²-1＜log_ax（a＞0，且a≠1）的解集为M，若（1，2）⊆M，则实数a的取值范围是

1＜a≤2

1

3

．

Answer 1

分析：先确定a＞1，再考虑两个函数 f（x）=x²-1 和 g（x）=log_ax，f（x）是二次函数，log_ax是对数函数，只要f（2）≤g（2），那么就能保证f（x）＜g（x）在1＜x＜2时恒成立，由此可确定实数a的取值范围．

解答：解：根据题意 不等式在1＜x＜2时恒成立
若a＜1，则x²-log_ax-1 是单调递增的，∴x=2时，3-log_a2＜0 不合题意．
所以a＞1
此时考虑两个函数 f（x）=x²-1 和 g（x）=log_ax，f（x）是二次函数，log_ax是对数函数，
故只要f（2）≤g（2），那么就能保证f（x）＜g（x）在1＜x＜2时恒成立
∴3-log_a2≤0
∴a³ ≤2
∴a≤2

1

3

∴1＜a≤2

1

3

故答案为：1＜a≤2

1

3

点评：本题考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．