题目内容
已知函数
,其中
为正实数,
.
(I)若
是
的一个极值点,求的值;
(II)求
的单调区间.
（Ⅰ）
；（Ⅱ）详见解析.
解析试题分析：（Ⅰ）由
为函数
的一个极值点，得到
便可求出的值，但在求得答案后注意处附近左、右两侧导数符号相反，即成为极值点的必要性；（Ⅱ）求含参函数的单调区间的求解，一般要对导数方程
在函数的定义域内是否有根以及有根时根的大小进行分类讨论，并结合导数值的正负来确定函数
的单调区间.
试题解析：解:
.
(I)因为是函数的一个极值点,
所以
，因此
,解得
.
经检验，当时，
是
的一个极值点，故所求
的值为
.
4分
(II)
令
得
①
(i)当
,即
时,方程①两根为
.
此时
与的变化情况如下表:
所以当
0 — 0 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 时,
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．
时，求曲线
在
处的切线方程；
时，求函数
，若对于
[1，2]，
[0，1]，使
成立，求实数
的取值范围．
．
在区间
上存在极值点，求实数
的取值范围；
时，不等式
恒成立，求实数
的取值范围；
．（
，
为自然对数的底数）
．
，讨论
的单调性；
时，
时，
，它的一个极值点是
．
的值及
的值域；
，试求函数
的零点的个数．
．
在
处的切线垂直于直线
，求该点的切线方程，并求此时函数
对任意的
恒成立，求实数
的取值范围．
，
.
的极值；
时，若不等式
在
上恒成立，求
的取值范围.
.
时，求函数
的单调区间；
时，函数
图象上的点都在
所表示的平面区域内，求实数
的取值范围．
，(其中
，
是自然对数的底).
的单调性；
时，关于
的方程
有唯一解，求
的值；
时，证明: 对一切
，都有
成立．