Question

设二次函数f（x）=x²+ax+a，方程f（x）-x=0的两根x₁，x₂满足0＜x₁＜x₂＜1，
（1）求实数a的取值范围；
（2）试比较f（0）f（1）-f（0）与

1

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的大小，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用二次函数根的分布的知识进行转化，得到参数a的方程组或不等式组，求解方程或解不等式．
（2）求出f（0）•f（1）-f（0）的关于参数a的表达式，然后利用（1）中解出的a的取值范围，求出f（0）•f（1）-f（0）的取值范围，与

1

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比较．

解答：解：（1）令g（x）=f（x）-x=x²+（a-1）x+a，则由题意可得

△＞0 0＜ 1-a 2 ＜1 g(1)＞0 g(0)＞0

?

a＞0 -1＜a＜1 a＜3-2 2 ，或a＞3+2 2

故所求实数a的取值范围是(0，3-2

2

)
（2）f（0）•f（1）-f（0）=2a²，令h（a）=2a²．
∵当a＞0时，h（a）单调增加，
∴当0＜a＜3-2

2

时，
0＜h(a)＜h(3-2

2

)=2(3-2

2

)2=2(17-12

2

)=2•

1

17+12 2

＜

1

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即f(0)•f(1)-f(0)＜

1

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点评：本题主要考查二次函数、二次方程的基本性质及二次不等式的解法，考查推理和运算能力．