Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁=AC=BC=2，∠ACB=90°，P是AA₁的中点，Q是AB的中点．
（1）求证：PQ⊥平面B₁CQ；
（2）求平面B₁CQ和平面A₁C₁Q所成锐二面角的大小．

Answer 1

分析：（1）以C为坐标原点，CA为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，然后根据

PQ

•

CQ

=0，

PQ

•

B1Q

=0，则PQ⊥CQ，PQ⊥B₁Q，满足线面垂直的判定定理；
（2）先求出平面A₁C₁Q的一个法向量

n

，而

PQ

=(-1，1，-1)是平面B₁CQ的一个法向量，然后利用向量的夹角公式cosα=|

PQ • n

| PQ || n |

|进行求解即可．

解答：解：（1）以C为坐标原点，CA为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系．             …（1分）
由题意可知C（0，0，0），P（2，0，1），Q（1，1，0），B₁（0，2，2），…（4分）
则

PQ

=(-1，1，-1)，

CQ

=(1，1，0)，

B1Q

=(1，-1，-2)
又因为

PQ

•

CQ

=0，，

PQ

•

B1Q

=0，∴PQ⊥CQ，PQ⊥B₁Q，…（6分）∴PQ⊥平面B₁CQ  …（7分）
（2）由题意可知C₁（0，0，2），A₁（2，0，2），
设平面A₁C₁Q的一个法向量为

n

=(x，y，z)
则由

n • C1A1 =0 n • C1Q =0

⇒

x=0 x+y=2z

，∴平面A₁C₁Q的一个法向量

n

可以是（0，1，2）…（11分）
又由（1）可知

PQ

=(-1，1，-1)是平面B₁CQ的一个法向量．…（12分）
设平面B₁CQ和平面A₁C₁Q所成锐二面角为α，则cosα=|

PQ • n

| PQ || n |

|=

15

15

，
∴平面B₁CQ和平面A₁C₁Q所成锐二面角的大小为arccosα=arccos

15

15

…（14分）

点评：本题主要考查了线面垂直的判定，以及二面角的度量，同时考查了利用空间向量解立体几何问题，属于中档题．