Question

【题目】已知圆：,（为坐标原点），直线:.抛物线:．

(Ⅰ）过直线上任意一点作圆的两条切线，切点为.求四边形的面积最小值；

(Ⅱ）若圆过点，且圆心在抛物线上，是圆在轴上截得的弦，试探究 运动时，弦长是否为定值？并说明理由；

(Ⅲ) 过点的直线分别与圆交于点两点，若,问直线是否过定点？并说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）6（Ⅱ）弦长为定值4 (Ⅲ) 直线过定点．

【解析】

（Ⅰ）四边形的面积即求OA长的最值即可；

（Ⅱ）设圆的圆心为，圆的方程为　令得：， ，又，从而得到结果；

(Ⅲ) 不妨设直线的方程，则直线的方程为，联立方程，可得，同理，，检验时，即可.

（Ⅰ）由已知得四边形的面积

其中为圆心到直线的距离＝．

∴四边形的面积最小值为

（Ⅱ）设圆的圆心为，∵圆过，

∴圆的方程为　

令得：，

设圆与轴的两交点分别为，

方法1：不妨设，由可得，

∴

又∵点 在抛物线上，∴，

∴　 ，即 .

∴当 运动时，弦长为定值4 ．

　方法2：∵，

∴ ，

∵点 在抛物线上，∴，∴，

∴ ,∴当运动时，弦长为定值4．

(Ⅲ)由题知直线和直线的斜率都存在，且都不为，不妨设直线的方程，则直线的方程为，联立方程，

得，得或．

∴，同理，

∵轴上存在一点，∴，同理．

∴，

所以，直线过定点．