Question

在数列{a_n}中，a₁=1，当n≥2时，an=

2an-1

an-1+2

．
（1）求a₂，a₃，a₄；     
（2）猜想数列{a_n}的通项a_n并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）当n≥2时，a₁=1，由an=

2an-1

an-1+2

，代入计算可得a₂，a₃，a₄； 
（2）猜想an=

1

2n-1

，由an=

2an-1

an-1+2

，取倒数，从而可得{

1

an

}是以1为首项，2为公差的等差数列，进而可求数列{a_n}的通项a_n．

解答：解：（1）当n≥2时，a₁=1，由an=

2an-1

an-1+2

得a2=

2

3

，a3=

2

4

=

1

2

，a4=

2

5

；
（2）猜想an=

1

2n-1

证明：当n≥2时，由an=

2an-1

an-1+2

得

1

an

=

an-1+2

2an-1

=

1

an-1

+

1

2

∴

1

an

-

1

an-1

=

1

2

∵a₁=1，
∴{

1

an

}是以1为首项，2为公差的等差数列
∴

1

an

=1+2(n-1)
∴an=

1

2n-1

点评：本题考查数列递推式，考查学生的计算能力，考查等差数列的证明，解题的关键是取倒数，构造等差数列．