Question

设数列{a_n}、{b_n}满足a₁=4，，，．
（Ⅰ） 证明：a_nb_n=4
（Ⅱ） 证明：a_n＞2，0＜b_n＜2（n∈N^*）；
（Ⅲ）设，求数列{c_n}的通项公式．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵，
∴两式相乘得a_nb_n=a_n+1b_n+1，
∴{a_nb_n}为常数列，
∴a_nb_n=a₁b₁=4；…（4分）
（Ⅱ） 证明：由（Ⅰ）知，
∴（若a_n=2，则a_n+1=2，从而可得{a_n}为常数列与a₁=4矛盾），
∴a_n＞2，∴0＜b_n＜2；…（8分）
（Ⅲ）解：∵，
∴
又因为c₁=1，∴{c_n}为等比数列，
∴…（15分）
分析：（Ⅰ）将已知条件，两式相乘，可得{a_nb_n}为常数列，从而可得结论；
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知，则，利用基本不等式可得结论；
（Ⅲ）利用，代入计算，可得{c_n}为等比数列，从而可得数列{c_n}的通项公式．
点评：本题考查数列递推式，考查等比数列的判定，考查基本不等式的运用，属于中档题．