题目内容

已知函数f（x）=lnx+ $数学公式$ +ax，x∈（0，+∞）（a为实常数）．
（1）当a=0时，求f（x）的最小值；
（2）若f（x）在[2，+∞）上是单调函数，求a的取值范围；
（3）设各项为正的无穷数列{x_n}满足lnx_n+ $数学公式$ ＜1（n∈N^），证明：x_n≤1（n∈N^）．

解（1）a=0时，f′（x）= $\text{[math]}$
当0＜x＜1时f′（x）＜0，当x＞1时f′（x）＞0，
∴f（x）_min=1
（2）f′（x）= $\text{[math]}$
当a≥0时，ax²+x-1在[2，+∞）上恒大于零，即f′（x）＞0，符合要求；
当a＜0时，令g（x）=ax²+x-1，g（x）在[2，+∞）上只能恒小于零
故△=1+4a≤0或 $\text{[math]}$ ，解得：a≤ $\text{[math]}$
∴a的取值范围是（-∞， $\text{[math]}$ ]∪[0，+∞）

（3）反证法：假设x₁=b＞1，由（1）知，
∴ln $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ≥1＞lnx_n+ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ＞lnb+ $\text{[math]}$ ，（n∈N^*），
∴故 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ＜1，即lnb＜ $\text{[math]}$ ，①
又由（1）当b＞1时， $\text{[math]}$ ∴ $\text{[math]}$ ，与①矛盾，故b≤1，即x₁≤1，
同理可证x₂≤1，x₃≤1，…，x_n≤1（n∈N^*）
分析：（1）a=0时，f′（x）= $\text{[math]}$ 则当0＜x＜1时f′（x）＜0，当x＞1时f′（x）＞0可求解；
（2）由f′（x）= $\text{[math]}$ 分a≥0和a＜0两种情况讨论
（3）用反证法，假设x₁=b＞1，由（2）已得到 $\text{[math]}$ ，再递推得 $\text{[math]}$ 从而有 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ，得出矛盾．
点评：本题主要考查用导数法求闭区间上的最值，求参数的范围以及用反证法证明不等式问题，综合性较强要理清思路．