Question

已知向量，，函数．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当x∈[0，π]时，求f（x）的单调递增区间；
（3）说明f（x）的图象可以由g（x）=sinx的图象经过怎样的变换而得到．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接利用向量的数量积，通过二倍角公式与两角差的正弦函数，化简函数我一个角的一个三角函数的形式，即可求函数f（x）的解析式；
（2）利用正弦函数的单调增区间求出函数的单调增区间与x∈[0，π]取交集，即可求f（x）的单调递增区间；
法二通过x的范围，求出2x-的范围，然后利用函数的最值时的2x-的值，即可得到单调增区间．
（3）利用左加右减，与伸缩变换的原则，直接说明f（x）的图象可以由g（x）=sinx的图象经过变换而得到．
解答：解：（1）∵=
=      2分
∴f（x）=1-=，…（3分）
∴f（x）=．…（4分）
（2）由，
解得，…（6分）
∵取k=0和1且x∈[0，π]，得和，
∴f（x）的单调递增区间为和．…（8分）
法二：∵x∈[0，π]，∴，
∴由和，…（6分）
解得和，
∴f（x）的单调递增区间为和．…（8分）
（3）g（x）=sinx的图象可以经过下面三步变换得到f（x）=的图象：g（x）=sinx的图象向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），最后把所得各点的纵坐标伸长为原来的2倍（横坐标不变），得到f（x）=的图象．…（14分）（每一步变换2分）
点评：本题借助向量的数量积的化简，求解函数的解析式，考查三角函数的基本性质，函数的图象的变换．