题目内容
在等差数列{an}中，已知a1+a2+a3=9，a2+a4+a6=21 （n∈N﹡）．（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=2n•an，求数列{bn}的前n项和Sn．
【答案】分析：（1）、根据题中已知条件和等差数列的性质便可得出数列{an}的通项公式；
（2）、先根据题中给出的公式，结合（1）中等差数列{an}的通项公式便可求出{bn}的通项公式及Sn，利用2Sn与Sn相减便可求出数列{bn}的前n项和Sn．
解答：解：（1）在等差数列{an}中，由 a1+a2+a3=3a2=9得，a2=a1+d=3，
又由 a2+a4+a6=3a4=21，得a4=a1+3d=7，
联立解得a1=1，d=2，则数列{an}的通项公式为an=2n-1．
（2）bn=2n•an=（2n-1）•2n，
∴Sn=1•2+3•22+5•23+…+（2n-1）•2n …（1）
2Sn=1•22+3•23+5•24+…+（2n-3）•2n+（2n-1）•2n+1 …（2）
（1）-（2）可得-Sn=2+2•（22+23+…+2n ）-（2n-1）•2n+1
得Sn=-2-
+（2n-1）•2n+1=6+2n-3）•2n+1 ．
点评：本题主要考查利用前几项的和求等差数列的公式，以及利用差项相减法球前n项的和，考查学生的运算能力和对数列的综合掌握．
（2）、先根据题中给出的公式，结合（1）中等差数列{an}的通项公式便可求出{bn}的通项公式及Sn，利用2Sn与Sn相减便可求出数列{bn}的前n项和Sn．
解答：解：（1）在等差数列{an}中，由 a1+a2+a3=3a2=9得，a2=a1+d=3，
又由 a2+a4+a6=3a4=21，得a4=a1+3d=7，
联立解得a1=1，d=2，则数列{an}的通项公式为an=2n-1．
（2）bn=2n•an=（2n-1）•2n，
∴Sn=1•2+3•22+5•23+…+（2n-1）•2n …（1）
2Sn=1•22+3•23+5•24+…+（2n-3）•2n+（2n-1）•2n+1 …（2）
（1）-（2）可得-Sn=2+2•（22+23+…+2n ）-（2n-1）•2n+1
得Sn=-2-
+（2n-1）•2n+1=6+2n-3）•2n+1 ．点评：本题主要考查利用前几项的和求等差数列的公式，以及利用差项相减法球前n项的和，考查学生的运算能力和对数列的综合掌握．
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