Question

18．若函数f（x）为R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）=-x²-1，则当x∈R时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-{x}^{2}-1，x＜0\\ 0，x=0\\{x}^{2}+1，x＞0\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 x＞0时，-x＜0，根据已知可求得f（-x），根据奇函数的性质f（x）=-f（-x）即可求得f（x）的表达式．

解答 解：x＞0时，-x＜0，
∵x＜0时，f（x）=-x²-1，
∴当x＞0时f（-x）=-（-x）²-1=-x²-1，
∵f（x）是R上的奇函数，
∴当x＞0时，f（x）=-f（-x）=x²+1
当x=0时，f（0）=0，
故f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-{x}^{2}-1，x＜0\\ 0，x=0\\{x}^{2}+1，x＞0\end{array}\right.$
故答案为：$\left\{\begin{array}{l}-{x}^{2}-1，x＜0\\ 0，x=0\\{x}^{2}+1，x＞0\end{array}\right.$

点评 本题考查函数解析式的求解，利用了奇函数的性质f（x）=-f（-x），计算简单，属于基础题．