Question

2010年11月广州成功举办了第十六届亚运会．在华南理工大学学生会举行的亚运知识有奖问答比赛中，甲、乙、丙同时回答一道有关亚运知识的问题，已知甲回答对这道题目的概率是

3

4

，甲、丙两人都回答错的概率是

1

12

，乙、丙两人都回答对的概率是

1

4

．
（1）求乙、丙两人各自回答对这道题目的概率．
（2）求回答对这道题目的人数的随机变量ξ的分布列和期望．

Answer 1

分析：（1）设乙、丙各自回答对的概率分别是p₁，p₂，根据题意，得

(1- 3 4 )•(1-p2)= 1 12 p1•p2= 1 4

，由此能求出乙、丙两人各自回答对这道题目的概率．
（2）ξ可能取值0，1，2，3，分别求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），由此能求出ξ的分布列和数学期望为Eξ．

解答：解：（1）设乙、丙各自回答对的概率分别是p₁，p₂，
根据题意，得

(1- 3 4 )•(1-p2)= 1 12 p1•p2= 1 4

，
解得p1 =

3

8

，p2=

2

3

．
故乙答对的概率为

3

8

，丙答对的概率为

2

3

．
（2）ξ可能取值0，1，2，3，
P（ξ=0）=

1

4

×

5

8

×

1

3

=

5

96

；
P（ξ=1）=

3×5×1+1×3×1+1×5×2

96

=

28

96

；
P（ξ=2）=

3×3×1+3×5×2+1×3×2

96

=

45

96

；
P（ξ=3）=

3×3×2

96

=

18

96

．
∴ξ的分布列如下：

ξ	0	1	2	3
p	5 96	7 24	15 32	3 16

数学期望为Eξ=

5

96

×0+

7

24

×1+

15

32

×2+

3

16

×3=

43

24

．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是中档题，在历年高考中都是必考题型，解题时要认真审题，仔细解答．