Question

【题目】已知点P是椭圆C上任一点，点P到直线l1：x=﹣2的距离为d1 ， 到点F（﹣1，0）的距离为d2 ， 且 = ．直线l与椭圆C交于不同两点A、B（A，B都在x轴上方），且∠OFA+∠OFB=180°．
（1）求椭圆C的方程；
（2）当A为椭圆与y轴正半轴的交点时，求直线l方程；
（3）对于动直线l，是否存在一个定点，无论∠OFA如何变化，直线l总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：设P（x，y），则 ，

，

化简得： ，

∴椭圆C的方程为：

（2）解：∵A（0，1），F（﹣1，0），

∴ ，∠OFA+∠OFB=180°，

∴kBF=﹣1，BF：y=﹣1（x+1）=﹣x﹣1

代入 ，得：3x2+4x=0，

∴ ，代入y=﹣x﹣1得 ，

∴

，∴

（3）证明：由于∠OFA+∠OFB=180°，所以B关于x轴的对称点B1在直线AF上．

设A（x1，y1），B（x2，y2），B1（x2，﹣y2）

设直线AF方程：y=k（x+1），代入 ，

得： ，

， ， ，

令y=0，得： ，

y1=k（x1+1），y2=k（x2+1），

= ，

∴直线l总经过定点M（﹣2，0）．

【解析】（1）设P（x，y），得 ，由此能求出椭圆C的方程．（2）由已知条件得kBF=﹣1，BF：y=﹣1（x+1）=﹣x﹣1，代入 ，得：3x2+4x=0，由此能求出直线l方程．（3）B关于x轴的对称点B1在直线AF上．设直线AF方程：y=k（x+1），代入 ，得： ，由此能证明直线l总经过定点M（﹣2，0）．