题目内容

已知椭圆C的长轴长与短轴长之比为 $数学公式$ ，焦点坐标分别为F₁（-2，0），F₂（2，0）．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知A（-3，0），B（3，0），P是椭圆C上异于A、B的任意一点，直线AP、BP分别交y轴于M、N，求 $数学公式$ 的值；
（3）在（2）的条件下，若G（s，0），H（k，0），且 $数学公式$ ，（s＜k），分别以OG、OH为边作两正方形，求此两正方形的面积和的最小值，并求出取得最小值时的G、H点坐标．

解：（1）由题意设椭圆C的标准方程是 $\text{[math]}$ ，
由题意知 $\text{[math]}$ ，又因a²=b²+c²，
解得a²=9，b²=5，
∴椭圆C的标准方程为 $\text{[math]}$ ．

（2）设P（x₀，y₀），∵A（-3，0），B（3，0），
∴直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
令x=0，分别代入上面的直线方程得：M（0， $\text{[math]}$ ），N（0， $\text{[math]}$ ），
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =5．

（3）∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
又∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，
∴两正方形的面积和为 $\text{[math]}$
当且仅当s²=k²=5时，等式成立，
∴两正方形的面积和的最小值为10，此时G $\text{[math]}$ 、H $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由题意设出椭圆方程，由条件和a²=b²+c²求出a²和b²的值；
（2）设出点P的坐标和点A和B坐标，求出直线PA和PB的方程，令x=0求出点M和N坐标，即求出 $\text{[math]}$ 的坐标，由向量的数量积运算求出 $\text{[math]}$ ，根据点P在椭圆上求出值；
（3）由（2）求出点M和N坐标以及题意求出 $\text{[math]}$ ，根据向量数量积运算和 $\text{[math]}$ 求出关于sk的积，再由基本不等式求出面积的最小值，注意等号成立的条件，进而求出G、H点坐标．
点评：本题考查了椭圆方程的求法以及椭圆的性质、向量数量积的几何意义，利用a、b、c、e几何意义和a²=b²+c²求出a和b的值，根据椭圆上点的坐标满足方程求出数量积的值，根据基本不等式和条件求出最值，注意“一正二定三相等”的利用，此题综合性强，涉及的知识多，考查了分析问题和解决问题的能力．