Question

已知数列{a_n}中，a₁=，a₂=，且数列{b_n}是公差为－1的等差数列，其中b_n=log₂（a_n+1-），数列{c_n}是公比为的等比数列，其中c_n=a_n+1-，求数列{a_n}的通项公式及它的前n项和.

Answer 1

∵a₁=，a₂=，

　　∴b₁=log₂（-×）=-2，c₁=-×=.

　　∵{b_n}是公差为－1的等差数列，{c_n}是公比为的等比数列.

　　∴b_n=

　　即即

　　消去a_n+1，得a_n=-.

　　S_n=a₁+a₂+…+a_n=3（+++…+）+2（+++…+）

　　=3×2×=3--1+.

解析:

求通项公式就是求一个关于n的未知函数.在事先无法估计函数的形式结构时，只要列出关于这个未知函数的方程或方程组即可求解.这正是数学思维的基本观点之一——方程观点在求函数解析式问题中的应用.

a_n是关于n的未知函数.由已知条件，事先无法估计a_n的解析式的形式结构，因此不能用待定系数法求a_n.但是利用等差数列{b_n}和等比数列{a_n}可以列出关于a_n+1和a_n的两个等式，视它们为关于a_n+1和a_n的方程组，消去a_n+1即可得a_n.