Question

已知函数f（x）=（ax²+x）e^x，其中e是自然数的底数，a∈R．
（1）当a＜0时，解不等式f（x）＞0；
（2）若f（x）在[-1，1]上是单调增函数，求a的取值范围；
（3）当a=0时，求整数k的所有值，使方程f（x）=x+2在[k，k+1]上有解．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据e^x＞0，a＜0，不等式可化为，由此可求不等式f（x）＞0的解集；
（2）求导函数，再分类讨论：①当a=0时，f′（x）=（x+1）e^x，f′（x）≥0在[-1，1]上恒成立；②当a≠0时，令g（x）=ax²+（2a+1）x+1，因为△=（2a+1）²-4a=4a²+1＞0，f（x）有极大值又有极小值．若a＞0，可得f（x）在[-1，1]上不单调；若a＜0，要使f（x）在[-1，1]上单调，因为g（0）=1＞0，必须满足，从而可确定a的取值范围；
（3）当a=0时，原方程等价于，构建函数，求导函数，可确定h（x）在（-∞，0）和（0，+∞）内是单调增函数，从而可确定方程f（x）=x+2有且只有两个实数根，且分别在区间[1，2]和[-3，-2]上，故可得k的值．
解答：解：（1）因为e^x＞0，所以不等式f（x）＞0，即为ax²+x＞0，
又因为a＜0，所以不等式可化为，
所以不等式f（x）＞0的解集为．（4分）
（2）f′（x）=（2ax+1）e^x+（ax²+x）e^x=[ax²+（2a+1）x+1]e^x，
①当a=0时，f′（x）=（x+1）e^x，f′（x）≥0在[-1，1]上恒成立，
当且仅当x=-1时取等号，故a=0符合要求；（6分）
②当a≠0时，令g（x）=ax²+（2a+1）x+1，
因为△=（2a+1）²-4a=4a²+1＞0，所以g（x）=0有两个不相等的实数根x₁，x₂，不妨设x₁＞x₂，
因此f（x）有极大值又有极小值．
若a＞0，因为g（-1）•g（0）=-a＜0，所以f（x）在（-1，1）内有极值点，故f（x）在[-1，1]上不单调．（8分）
若a＜0，可知x₁＞0＞x₂，因为g（x）的图象开口向下，要使f（x）在[-1，1]上单调，
因为g（0）=1＞0，必须满足，即，所以．
综上可知，a的取值范围是．（10分）
（3）当a=0时，方程即为xe^x=x+2，由于e^x＞0，所以x=0不是方程的解，所以原方程等价于，
令，
因为对于x∈（-∞，0）∪（0，+∞）恒成立，
所以h（x）在（-∞，0）和（0，+∞）内是单调增函数，（13分）
又h（1）=e-3＜0，h（2）=e²-2＞0，，h（-2）=e^-2＞0，
所以方程f（x）=x+2有且只有两个实数根，且分别在区间[1，2]和[-3，-2]上，
所以整数k的所有值为{-3，1}．（16分）
点评：本题考查解不等式，考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数与方程思想，考查分类讨论的数学思想，综合性强．