Question

设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₃+S₆=2S₉，求数列的公比q.

Answer 1

解法一:若q=1，则S₃=3a₁,S₆=6a₁,S₉=9a₁.

∵a₁≠0，∴S₃+S₆≠2S₉.显然q=1与题设矛盾，故q≠1.

由S₃+S₆=2S₉，得

+=.

整理得q³(2q⁶－q³－1)=0.

∵q≠0,∴2q⁶－q³－1=0,即(2q³+1)(q³－1)=0.

∵q³≠1，故q³=－,

∴q=－.

解法二:设从第一项起，每三项的和组成的数列为{b_n}，则{b_n}是以b₁为首项，公比为q³的等比数列.

∴S₃=b₁,S₆=b₁+b₂,S₉=b₁+b₂+b₃.

由已知S₃+S₆=2S₉，得

b₁+b₁+b₂=2(b₁+b₂+b₃).

∴2b₃=－b₂,

即=－.∴q³=－.

故q=－.

点评:解法一利用等比数列求和公式求解，思路简单、实用，但运算较繁，解法二灵活运用等比数列的性质进行求解，则可以简化运算过程，提高运算速度，使运算更合理.