题目内容
【题目】如图，已知四棱锥S﹣ABCD，SB⊥AD，侧面SAD是边长为4的等边三角形，底面ABCD为菱形，侧面SAD与底面ABCD所成的二面角为120°．
（1）求点S到平面ABCD的距离；
（2）若E为SC的中点，求二面角A﹣DE﹣C的正弦值．
【答案】
（1）
解：如图，作SO⊥平面ABCD，垂足为点O．
连接OB，OA，OD，OB与AD交于点F，连接SF．
∵SB⊥AD，
∴OB⊥AD．
∵SA=SD，
∴OA=OD．
∴点F为AD的中点，所以SF⊥AD．
由此知∠SFB为侧面SAD与底面ABCD所成的二面角的平面角，
∴∠SFB=120°，
∵侧面SAD是边长为4的等边三角形，
∴SF= 
=2 
，
∴SO=SFsin60°=2 
=3，
即点S到平面ABCD的距离为3
（2）
解：如图以O为坐标原点，使y轴与BC平行，OB，OS所在直线分别为y轴、z轴建立空间直角坐标系，
由已知得：A（ ，2，0），D（ 
，0），C（3 ，﹣4，0），E（ 
，﹣2， 
），
=（0，﹣4，0）， 
=（ 
，0， ）， 
=（﹣ ，2， ），
设平面ADE的法向量为 
，
则 
令x= ，得 
=（ ，0，﹣1）．
设平面DEC的法向量为 
=（x，y，z），
则 
，令x= ，得 =（ ，3，﹣1），
设二面角的平面角为θ，
则cosθ= 
= 
= 
，
∴sinθ= 
= 
，
∴二面角A﹣DE﹣C的正弦值为
【解析】（1）解：作SO⊥平面ABCD，连接OB，OA，OD，OB与AD交于点F，连接SF．推导出OB⊥AD，SF⊥AD．从而∠SFB为侧面SAD与底面ABCD所成的二面角的平面角，由此能求出点S到平面ABCD的距离．（2）以O为坐标原点，使y轴与BC平行，OB，OS所在直线分别为y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣DE﹣C的正弦值．
