Question

已知函数f（x）=的图象过点（﹣1，2），且在点（﹣1，f（
﹣1））处的切线与直线x﹣5y+1=0垂直．
（1）求实数b，c的值；
（2）求f（x）在[﹣1，e]（e为自然对数的底数）上的最大值；
（3）对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上是否存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？

Answer 1

解：（1）由题意可得，当x＜1时，f′（x）=﹣3x²+2x+b，f′（﹣1）=﹣3﹣2+b=b﹣5．
由（ b﹣5 ）（ ）=﹣1，可得b=0，
故 f（x）=﹣x³+x²+c．把点（﹣1，2）代入求得 c=0．
综上可得b=0，c=0．
（2）由以上可得  ，当﹣1≤x＜1时，f′（x）=﹣x（3x﹣2）．
 解f′（x）＞0得0＜x＜ ．解f′（x）＜0得1≥x＞ 或x＜0．
∴f（x）在（﹣1，0）和（ ，1）上单调递减，在（0， ）上单调递增，
从而f（x）在x= 处取得极大值为f（ ）= ．
又∵f（﹣1）=2，f（1）=0，
∴f（x）在[﹣1，1）上的最大值为2．
当1≤x≤e时，f（x）=alnx，
当a≤0时，f（x）≤0．
当a＞0时，f（x）在[1，e]单调递增；
∴f（x）在[1，e]上的最大值为a．
∴a≥2时，f（x）在[﹣1，e]上的最大值为a；
当a＜2时，f（x）在[﹣1，e]上的最大值为2．
（3）设点P的横坐标为m（不妨设m＞0），
则由题意可得点Q的横坐标为﹣m，且﹣m＜0．
当0＜m＜1时，点P（m，﹣m³+m²），点 Q（﹣m，m³+m²），
由K_0P·K_OQ=﹣1，可得（﹣m²+m）（﹣m²﹣m）=﹣1，m无解．
当m≥1时，点P（m，alnm），点 Q（﹣m，m³+m²），
由K_0P·K_OQ=﹣1，可得  ·（﹣m²﹣m）=﹣1，即 alnm= ．
由于a为正实数，故存在大于1的实数m，满足方程 alnm= ．
故曲线y=f（x）上是否存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，
且此三角形斜边中点在y轴上．