Question

12．已知函数f（x）=$\frac{2}{{x}^{2}-2x+2}$（x∈R）
（1）证明：f（2-x）=f（x）；
（2）若f（x）≤1，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将f（x）变形，计算f（2-x）即可得证；
（2）原不等式等价变形为（x-1）²≥1，由二次不等式的解法，即可得到所求范围．

解答 （1）证明：f（x）=$\frac{2}{{x}^{2}-2x+2}$=$\frac{2}{（x-1）^{2}+1}$，
即有f（2-x）=$\frac{2}{（2-x-1）^{2}+1}$=$\frac{2}{（x-1）^{2}+1}$=f（x）；
（2）解：f（x）≤1，即为$\frac{2}{（x-1）^{2}+1}$≤1，
即有（x-1）²≥1，
即x（x-2）≥0，
解得x≥2或x≤0．

点评 本题主要考查分式不等式的解法，注意等价变形我整式不等式，同时考查函数的性质，属于基础题．