Question

1．已知点A（2，3），B（1，1）和直线l₁：3x-4y+8=0，求
（1）经过点B，且与直线l₁平行的直线的方程；
（2）线段AB的垂直平分线的方程；
（3）经过点A与直线x-$\sqrt{3}$y+1=0的夹角为$\frac{π}{3}$的直线方程；
（4）与直线l₁平行．且与两坐标轴围成的三角形面积为6的直线的方程．

Answer 1

分析 （1）设经过点B，且与直线l₁平行的直线的方程为 3x-4y+m=0，把点B的坐标代入求得m的值，可得所求的直线方程．
（2）先求得线段AB的中点的坐标，直线AB的斜率，可得线段AB的垂直平分线的斜率，再用点斜式求得线段AB的垂直平分线的方程．
（3）经过点A与直线x-$\sqrt{3}$y+1=0的夹角为$\frac{π}{3}$的直线的斜率为-$\frac{\sqrt{3}}{3}$或不存在，可得直线方程；
（4）与直线l₁平行的方程为3x-4y+c=0，令x=0，可得y=$\frac{c}{4}$，令y=0，可得x=-$\frac{c}{3}$，利用与两坐标轴围成的三角形面积为6，建立方程，即可求出直线的方程．

解答 解：（1）设经过点B，且与直线l₁平行的直线的方程为 3x-4y+m=0，
把点B的坐标代入可得 3-4+m=0，求得 m=1，故所求的直线方程为3x-4y+1=0．
（2）线段AB的中点为（$\frac{3}{2}$，2），直线AB的斜率为$\frac{3-1}{2-1}$=2，
故线段AB的垂直平分线的斜率为-$\frac{1}{2}$，用点斜式求得线段AB的垂直平分线的方程为y-2=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{3}{2}$），
即2x+4y-11=0．
（3）经过点A与直线x-$\sqrt{3}$y+1=0的夹角为$\frac{π}{3}$的直线的斜率为-$\frac{\sqrt{3}}{3}$或不存在，方程为y-3=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-2）或x=2；
（4）与直线l₁平行的方程为3x-4y+c=0，令x=0，可得y=$\frac{c}{4}$，令y=0，可得x=-$\frac{c}{3}$，
∵与两坐标轴围成的三角形面积为6，
∴$\frac{1}{2}•|\frac{c}{4}|•|-\frac{c}{3}|=6$，
∴c=±12，
∴直线的方程为3x-4y±12=0．

点评 本题主要考查用待定系数法求直线方程，用点斜式求直线的方程，属于中档题．