Question

（本小题12分）如图，已知平面，，为等边三角形，，为的中点．

（1）求证：平面；

（2）求证：平面平面；

（3）求直线和平面所成角的正弦值．

 

Answer 1

【答案】

（1）证明：见解析；（2）见解析.（3）直线和平面所成角的正弦值为 .

【解析】(1)解本题的关键是在平面BEC内构造出一条与AF平行的平行线。取的中点，连、，然后证明四边形BGFA为平行四边形即可。

(2) 关键是证：平面，即证：平面,即CD的中点F，即证：和即可。

(3)解本小题的关键是找出线面角。在平面内，过作于，连

∵平面平面，∴平面，

∴为和平面所成的角。然后解三角形即可。 

（1）证明：取的中点，连、．

∵为的中点，∴且

∵平面，平面.

∴，∴

又，∴

∴四边形为平行四边形，因此

∵平面，平面.

∴平面                               …………………………………4分

（2）证明：∵是等边三角形，为的中点，

∴  ∵平面，平面，∴

又，故平面

∵，∴平面

∵平面，

∴平面平面        ………………………………………………………8分

（3）解：在平面内，过作于，连

∵平面平面，∴平面

∴为和平面所成的角            ………………………………10分

设，则

，

中，

∴直线和平面所成角的正弦值为………………………………………12分

（用空间向量法解答对应给分）