Question

已知矩形ABCD中，AB＝2AD＝4，E为CD的中点，沿AE将三角形AED折起，使DB＝2如图，O、H分别为AE、AB的中点．

(1)求证：直线OH//面BDE；

(2)求证：面ADE⊥面ABCE；

(3)求二面角O－DH一E的余弦值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明∵O、H分别为AE、AB的中点 　　∴OH//BE，又OH不在面BDE内 　　∴直线OH//面BDE　　4分 　　(2)O为AE的中点AD＝DE，∴DQAE 　　∵DO＝，DB＝2，BO2＝32＋12＝10∴∴ 　　又因为AE和BO是相交直线所以，DO面ABCE，又OD在面ADE内 　　∴面ADE面ABCE　　8分 　　(3)由(1)(2)知OA、OH、OD两两垂直，分别以OA、OH、OD为x、y、z轴建立空间坐 　　标系，则A(，0，0)，H(0，，0)，E(－，0，0)，D(0，0，)， 　　向量　　10分 　　设平面DHE的法向量为n＝(x，y，z) 　　则n·＝0n·＝0 　　即y＝z，x＝－z 　　∴平面DHE的法向量为n＝(z，－z，z)，不妨没z＞0　　12分 　　又是平面DOH的法向量 　　 　　由图面角O－DH－E为锐角，所以，二面角O－DH－E的余弦值为　　14分