Question

椭圆的两个焦点为F₁（-c，0），F₂（c，0），M是椭圆上的一点，且满足．
（1）求离心率的取值范围；
（2）当离心率e取得最小值时，点N（0，3）到椭圆上的点的最远距离为；
①求此时椭圆G的方程；
②设斜率为k（k≠0）的直线L与椭圆G相交于不同的两点A、B，Q为AB的中点，问A、B两点能否关于过点、Q的直线对称？若能，求出k的取值范围；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：本题考查的知识点是平面向量的数量积运算，椭圆的标准方程，椭圆的性质及直线与椭圆的关系等知识点，
（1）我们设M（x，y），则易得向量的坐标，由，结合向量垂直的充要条件，我们即可得到x，y的关系式，又由M又在椭圆上，代入椭圆方程即可得到离心率的取值范围．
（2）①由（1）的结论，我们易得到离心率e取得最小值时的椭圆方程（含参数），再点N（0，3）到椭圆上的点的最远距离为，我们易得到关于参数的方程，解方程即可得到椭圆的方程．②设出未知直线的方程，然后联立直线方程与椭圆方程，得到一个关于x的一元二次方程，然后使用“设而不求”的方法，结合韦达定理及A、B两点能否关于过点、Q的直线对称构造不等式组，解不等式组即可得到k的取值范围．
解答：解：（1）设M（x，y），则
由（1分）
又M在椭圆上，∴（2分）
∴，（3分）
又0≤x²≤a²∴，（4分）
∵0＜e＜1，∴（5分）
（2）①当时得椭圆为
设H（x，y）是椭圆上一点，
则|HN|²=x²+（y-3）²=（2b²-2y²）+（y-3）²=-（y+3）²+2b²+18，（-b≤y≤b）
（6分）
设0＜b＜3，则-3＜-b＜0，当y=-b时，|HN|_max²=b²+6b+9，，由题意得b²+6b+9=50
∴，与0＜b＜3矛盾，（7分）
设b≥3得-b≤-3，当y=-3时，|HN|_max²=2b²+18，，由2b²+18=50得b²=16，（合题薏）
∴椭圆方程是：（8分）
②．设l：y=kx+m由
而△＞0⇒m²＜32k²+16（9分）
又A、B两点关于过点、Q的直线对称
∴，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则（10分）
∴（11分）
∴（10分）
又k≠0，∴或（11分）
∴需求的k的取值范围是或（12分）
点评：在处理直线与圆锥曲线的关系类问题时，我们的使用的方法及思路一般有：①联立方程；②设而不求；③韦达定理；④弦长公式等．