Question

在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线：x-

3

y=4相切
（1）求圆O的方程
（2）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求

PA

•

PB

的取值范围．

Answer 1

分析：首先分析到题目（1）中圆是圆心在原点的标准方程，由切线可直接求得半径，即得到圆的方程．对于（2）根据圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，列出方程，再根据点P在圆内求出取值范围．

解答：解：（1）依题设，圆O的半径r等于原点O到直线x-

3

y=4的距离，
即r=

4

1+3

=2．
得圆O的方程为x²+y²=4．
（2）不妨设A（x₁，0），B（x₂，0），x₁＜x₂．由x²=4即得A（-2，0），B（2，0）．
设P（x，y），由|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，得

(x+2)2+y2

•

(x-2)2+y2

=x2+y2，
即x²-y²=2.

PA

•

PB

=(-2-x，-y)•(2-x，-y)=x²-4+y²=2（y²-1）．
由于点P在圆O内，故

x2+y2＜4 x2-y2=2.

由此得y²＜1．
所以

PA

•

PB

的取值范围为[-2，0）．

点评：此题主要考查圆的标准方程的求法，以及圆与直线交点问题，属于综合性试题，有一定的计算量，难易中等．